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桥梁结构数值模拟误差讨论
概 要
众所周知，复杂结构的分析受很多不确定因素和近似性的影响。文章将这些因素分为三类：数值误差、模型误差以及人为误差。这势必要涉及到多模型的问题，本文以长跨度悬索桥为例来建立多个模型，从而形象说明这些影响因素的存在。
1 介绍
这里讨论长跨悬索桥的数值分析，当然我们知道这类结构的特性是非常复杂的。从数值分析的角度将，为了充分地展现结构的行为，缆索系统的非线性行为不得不被考虑进来。很显然，很多的现代商业程序可以考虑力学非线性，然而结构的分析和设计仍是一个复杂的问题。实际上结构的可靠性要依赖于许多细节分析。
不幸的是，力学行为的不确定性很大程度上影响了数值计算结果，从而使得分析结果失效。
在复杂的结构设计中，各种不确定因素包括：力学和几何特性、材料本构、人为推理等等。通常，这些因素是必然存在于模型中的，而唯一的方法去解决这些不确定因素需要一个适当的数值模拟。
如今数值仿真的成本已经明显地减少了，这就允许工程团队用计算机方法去研究各种假设的影响，这种方法几乎覆盖了设计的各个领域。
2 实际结构和数值模型
尽管数值模型代表了实际的结构，但是它并不包括实际结构的所信息，因此只能说数值模型是实际结构的一种简化。这样的简化也是必须的，因为分析者不可能有这个能力和精力去处理实际结构的所有信息。换句话说，数值分析总是存在不确定因素的。
这些因素包括：
材料行为的假设存在近似性；
通常结构的形状也是很难掌握的，比如悬索桥的主缆就是用很多的直线段来模拟；
对结构的加载也同样存在着不确定性。
为了实现整个桥梁的分析，分析者还必须考虑：
非线性行为。一般来说，悬索桥的非线性主要是几何方面的，但是在特殊的情况下，材料非线性和接触非线性也是必须要考虑进去的；
相互作用。相互作用的分析主要包括土壤和结构、桥梁和风、车辆和桥梁几类，但这些计算是非常昂贵的，而且存在很多的假设。
在复杂的结构分析中，近似模拟是不可避免的，这里将它们分为三类: 数值误差、模型误差以及人为误差。接下来的三个小节将分别讨论这几个近似因素。
2.1 数值误差和近似性
在数值计算力学上，有很多的数值计算误差。像梁理论或者板壳理论等都是基于简化的数学模型的。除此之外也存在很多其它的关于梁和板的有限元公式，因此，一般来说，不同的程序也使用不同的理论。所以不同的程序计算一个项目，往往会给出不同的结果。采用某个程序进行项目的设计与分析前，应该先用简单的例子对程序进行校验是合理的。
图1（此处程序按字母排序）用来测试壳单元特性，圆筒用了三个商业有限元程序进行了计算并作出了计算结果图形。实线代表了理论解，它可以来校验其它计算的准确性。从弯矩图可以看出，这几个程序间的差别。
还有很多的文献也对各种程序进行了测试，但是还是很难将简单的测试结论套用到复杂的模型中。唯一可以采用的办法是对同样的一个复杂模型采用不同的商业程序进行对比计算。
显然这是一个比较昂贵的方法，但是起码这对于控制建模和人为的误差是很有好处的。
图2展示了5种商业程序（LUSAS、ANSYS、ALGOR、SAP2000、ADINA），这里按建模方便性和专业性能排序，主要用他们来分析长跨度悬索桥梁。就像在本文的其它地方提到的一样，尽量采用优越的数值分析方法来分析较为节约的模型，显得极为必要。
2.2 模型误差和近似性
上面说到数值模拟和实际是有一定的区别的。比如考虑一个悬索桥面板的建模。可以用梁单元或者壳单元、实体单元来模拟结构的行为。显然，从梁单元模型过渡到壳单元模型，用户必须要添加更多的信息到模型中去。而壳单元模型可能更能体现混凝土的特性。
数值建模的另一个问题是模型规模，即整体模型还是局部模型。
由于计算的资源总是有限的，如果要采用混凝土模型，那么可能选择局部模型更适合一点，而一个整体混凝土本构材料的桥梁模型就不会适合了。很多没有必要的信息往往会增加人为误差的几率，从而扩大了精度损失和时间的耗费。因此采用什么模型应该和分析的侧重点一致。
2.3 人为误差和近似性
人为的误差往往被低估了，人类的思想是一个复杂的系统：人的智力比最快的计算机要更复杂，但同时也相对要缺少一些确定性。下面的一些逻辑谬论往往能存在于数值方法中：
错误的选择：变多项选择为非此即彼的选择。
知识缺陷：不知道的就是错误的。
强迫性灌输：强迫读者接受。
片面失误：过于关注某方面的因果关系，而忽略了其它的地方。
方式的影响：在某些有争论的地方采用了不符合实际的方式。比如有限元中对单元应力图的展示，往往采用平均应力，尽管看起来很美，但是这就隐藏了离散元收敛的特性。
像以上这样的认为误差还很多，这里无法穷举。
3结构数值模型及其探询
为了考虑数值方面的误差，这里采用下图的长跨悬索桥说明：
这是意大利墨西拿海峡桥的初步设计模型，此桥跨度极大。实际上，主跨达到了3300 m，塔高380 m，因此这是一个重要的项目，也应该对它的各种特性进行仔细的分析。数值模型为3D有限元结构，同时考虑了材料和几何非线性，几何非线性关注主缆的变形，而材料非线性主要关注桥面和索塔间的局部连接构件。各类非线性在这里得到了充分的体现，非线性特性在扩大或者缩小结构的输入不确定性上起到了至关重要的作用，见下图。
下面采用一个力学上的例子进行简要说明：
这里b或者A的改变都可以x的结果，因此可以写成下面的形式：
上面的方程都可以得到Δx的上限:
在这里表示模数，如果这个值很大，那么就可能增加求解的不确定性。但实际上，上面的理论不是直接被使用到实际结构中去的，因为这需要花费很多时间，而且在非线性问题中，A和b是不断变化的，因此需要不停的计算这个模数。
为了掌握不确定性，对结果的近似程度，必须对模型进行不停地试探，其间可能要用到很多种不同的方法。可能是基于力学问题的不确定性，也可能是基于建模问题的不确定性。这里对力学问题的不确定性进行了讨论。
将由不同力学特性的几种有限单元组合成当前悬索桥数值模型。为了评估这类不确定性的影响，对这些单元的特性参数值增加或者减少了10％，得到了修改后结构的计算位移，尤其是桥面结构位移：桥跨末端的纵向位移、跨中的竖向位移、跨中的横向位移。对每个位移计算了相应的CV如下：
这里S代表原型的位移，而其它两个变量代表修改后（增加或者减少）模型位移，CV表示了模型输出的变化特性。原型采用了9类单元类型，改变每类单元都可以得到一个相应的CV结果。表1列出了所有的结果，从中可以看出主缆的影响是巨大的。
对于复杂的结构，如果有很多的参数需要输出，那么类似表1的数据将会很多。为了将这些不确定因素融合起来，需要进行大量的分析。这里采用了欧几里德距离函数对模型结果进行了分析：
方程（6）中，这里的xi和yi是表1中的两行，结果见下图。下图和表1中的每一行代表了一种情况。图左边的线段代表了各个情况下的相似和不同的程度。
上图明显地反映出了主缆的影响程度，其它排列顺序也可以从图上看出来。
让我们感兴趣的是，2组悬挂系统比1组和3组悬挂系统的不确定影响更大，而对主缆的单元参数的确定我们更应该仔细。
下面讨论多模型结构控制不确定性因素。
4多模型方法
多模型方法最早用于信息领域，它是用一个模型来说明其它很多各类模型的方法，最近这种方法也用到了结构设计领域。将近似性分为三种，你可以创建三个不同的组件：人为推理组；模型假设组；数值误差组。
例如模型假设组，你可以找到各种分析角度的模型。这个组代表了各种模型假设，因此可以称之为多模型（见图7）。
显然，在数值的分析中，各种多模型方法可以考虑。处理上面的模型假设组外，你也可以用数值误差组，也可以用人为推理组等等。这些组除了可以相互并存外，也可以相互包含，比如将所有上面的三个组集合在一起，又形成了一个新的超级多模型（见图8）。
5多模型方法对长跨度悬索桥行为的评估
你可以考虑桥梁在铁路荷载、公路荷载以及静态风荷载作用下的结构位移，尤其是关注桥面结构的竖向和横向位移。图9显示了结构几何形式和相应的加载情况。复杂的悬索桥结构迫使分析者有很多的选择，这些都增加了问题的不确定性。
长跨度悬索桥的最重要问题是确定悬索桥的初始形状。实际上，悬索桥是以成桥结构状态为依据来建里数值模型的。
然而实际结构和数值结构有本质的不同，实际施工时，结构单元和非结构单元的重力都会加载到桥上，然后再施加恒载到结构上去。而数值分析时，初始模型没有荷载，施加恒载后产生了非实际的桥面位移。我们知道，悬索桥的几何刚度受恒载影响，这就迫使我们必须要模拟恒载从而达到对桥面线性的要求。其中用到很多的假设来建立相应的物理状态：
1）第一个模型考虑在两个锚端施加位移。在充分的迭代计算之后，需要校验各端的竖向和横向位移如下：
采用这种方法，使得跨中的变形图结果和实际的非常接近，但是在塔的附近有明显的不同。将这个模型设为“SI”。
2）第二个模型考虑用来再现恒载下的结构图形。使用这个模型，可能使得整个桥型，它和实际的桥型接近。经过初步的研究之后，我们确定中跨的垂度为81 m。给它取名为“CF”。
3）最后一个是古典模型。忽略施工过程中的恒载，然而在成桥节段，由于恒载的作用，标准图上的悬索系统发生了变形。对缆索设定适当的温度，可以再现它的初始形状。对主要结构降温如下：
这种方法可以使得变形图接近于标准图，给它取名为“TE”。
不同模型有着不同的适用范围和精度。SI模型能精确的评定桥面结构的位移，但是对塔的位移评定是非常差的。但是各种方法并存可以用来分析复杂结构。只有对不同模型的计算结果进行比较，才能认识到假设的重要性。一个模型可能在某一方面比较真实再现结构性能，但同时可能在另一方面显得不足，这都是可以接受的。
出于同样的目的，这里采用了三个商业程序：LUSAS、ANSYS、SAP2000。注意到LUSAS和ANSYS可以采用拉个朗日或者更新的拉个朗日公式进行分析，而SAP2000采用的是P－Δ方法进行分析。这为结果的选择与比较提供了依据。对于本例，从表2可以看出各个程序采用的方法：
显然，不同的模型产生了不同的结果，这和专门的求解方法和寻找初始形状的技术有关。图11提供了桥面板的竖向和横向位移，从结果看出竖向位移有较好的一致性。差别在5～8％之间是完全可以接受的。因此也可以说，竖向位移对模型变化不是很敏感。
与之形成对比的是横向位移。实际上采用不同的模型，差别可达到60%。此种情况下，简化的模型对于进行这样的评估不会很有效：例如对于关注横向位移的地震或者风力作用分析，就应该特别注意横向模型的选择。
6结 论
这片文章集中讨论复杂结构的数值分析问题，比如悬索桥。尤其关注在数值分析中的不同的误差类型上，研究者对这些应该仔细考察。
作者采用了多模型方法，对目前世界上跨度最大的悬索桥初步方案进行了分析，采用了多种假设。这些假设的模型对桥面的竖向位移评定精确，而对风力引起的桥面横向位移的评定显得有些粗糙。
因此对于一个复杂的结构，即使用再好的软件，也需要采用多种模型进行分析校验，这是对广大用户的一点建议。 | 
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